Schriftliches Addieren in der Grundschule – Was ist ein “Übertrag”?

1. Einleitung

In dem hier vorliegenden Blog wird eine fiktive Mathematikstunde in der dritten Klasse einer Grundschule dargestellt. Dabei wird das Thema “schriftliche Addition mit Übertrag” behandelt, indem die Schülerinnen und Schüler [im folgenden SuS] den neuen Begriff Übertrag sprachlich und anwendungsorientiert begreifen.

Würde man eine Personengruppe befragen “Was ist die Sprache der Mathematik?” so würden die meisten über Zeichen, Formeln und Graphen sprechen. Doch auch der Sprachgebrauch ist in der Schulmathematik von enormer Wichtigkeit. Wie soll den Kindern ein Konzept von Unendlichkeit unterrichtet werden, wenn nicht über die Nutzung von Sprache? Es sind die Inhalte der Mathematik, die den Gebrauch von Sprache im und für den Lernprozess notwendig voraussetzen (Meyer, Tiedemann, 2017, Vorwort).

Das schriftliche rechnen ist eine Kernkompetenz im Niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule im inhaltsbezogenen Kompetenzbereich Zahlen und Operationen (Kultusministerium, 2017, S. 30).

Zuerst wird das fachlich zentrale Thema “schriftliche Addition mit Übertrag” anhand einer Sachanalyse aufbereitet. Anschließend werde ich einen möglichen didaktischen und methodischen Ablaufplan der Unterrichtsstunde vorstellen. Zuletzt wird die Stunde anhand eines Leitfadens von Pauline Gibbons für sprachsensiblen Unterricht analysiert und bewertet.

2. Sachanalyse

Die Addition ist eine der vier Grundrechenarten in der Grundschule. Bei der Addition mehrerer und größere Zahlen empfiehlt sich ein schriftliches Verfahren. Innerhalb der schriftlichen Addition werden die Summanden zuerst stellengerecht und rechtsbündig untereinandergeschrieben. Als Hilfestellung können je nach Klassenstufe Überschriften für die Einer = E, Zehner =Z, usw. formuliert werden.

	H	Z	E
	6	3	8
+	2	6	5
	1	1
	9	0	3

Im Verlauf des Verfahrens werden dann die Stellenwerte nacheinander addiert. Angefangen wird dabei im Einerbereich von rechts nach links. Bei der Addition mehrerer Zahlen oder größeren Stellenwerten kann es sein, dass die Summe der Stellenwertspalte größer als 9 ist, sodass ein Übertrag im nächsten Stellenwert vorgenommen werden muss.

8	+	5	=	13
13	=	1	Z	&	3	E

Dieser wird klein unterhalb des letzten Summanden notiert (s. Abb. 1). In das Ergebnis wird der Wert ohne Übertrag geschrieben. Diesen Schritt wiederholt man nun solange, bis keine Ziffern mehr in der Stellenwertspalte stehen. Das Verfahren ist algorithmisch aufgebaut, so dass man das Verfahren bei Verinnerlichung auf andere Beispielaufgaben übertragen kann.

Der Übertrag ist also als ein Teilschritt bei arithmetischen Operationen mit Zahlen, die in einem Stellenwertsystem dargestellt werden, zu verstehen.

3. Didaktische Überlegungen

Die schriftliche Addition ist im Kerncurriculum ein Teil der inhaltsbezogenen Kompetenz Zahlen und Ordnung und wird bis zum Ende der vierten Klasse erworben (Kultusministerium, 2017). In der dritten Klasse wird der Zahlenraum bis 1000 erschlossen. In diesem Zahlenraum wird das Kopfrechnen vor allem mit mehreren Summanden immer schwerer. Auch der Übertrag lässt sich nicht leicht im Kopf berechnen, so dass ein schriftliches Verfahren Sinn ergibt. Ein Realitätsbezug lässt sich einfach mit einem Kassenzettel herstellen. Dabei werden die einzelnen Positionen untereinander aufgeschrieben und am Ende zusammengerechnet. Hier wird das Verfahren deutlich und kann für die SuS visualisiert und sprachlich begründet werden. Um die SuS mit einem Alltagsbezug zu motivieren, kann das Thema mithilfe einer Einkaufssituation verdeutlicht werden.

In der Hinführungsphase wird mit einer Wiederholung aus der vergangenen Stunde begonnen. Dadurch sollen die SuS das gelernte Wiederholen, um so den Zusammenhang für die aktuelle Stunde erkennen zu können. An einer Stelle werden die SuS auf eine Problemstelle treffen. Die Addition führt zu einem Zehnerübergang der für die SuS in der schriftlichen Addition unbekannt ist. Die Anschließende Diskussion um mögliche Lösungsschritte fördert dabei das Problemlösewissen der SuS. Außerdem wird in diesem Teil mathematisch Kommuniziert, indem Lösungsideen mathematisch diskutiert und geprüft werden (Kultusministerium, 2017, S. 22). Es werden Strategien zur Lösung ausprobiert. In diesem Schritt wird der fachliche Gegenstand in den Mittelpunkt gesetzt. Da aber fachliches uns sprachliches Lernen miteinander gekoppelt sind, wird in diesem Schritt auch sprachliches Lernen stattfinden, da ein fachliches Phänomen erworben wurde (Michalak, 2015, S. 135). Nach Gibbons Gestaltung eines sprachsensiblen Fachunterrichtes ist dies die Phase „Doing an experiment“ (Gibbons, 2012). Die SuS knobeln an der Lösung der Aufgabe, welche mit dem richtigen Einsatz des Übertrags steht und fällt. Da die Aufgabe zwei Überträge beinhaltet können beim zweiten Übertrag die Ideen überprüft werden. Gibbons schreibt: „Zu Beginn einer Unterrichtseinheit führen die SuS Experimente durch […]. Den SuS wird die Anleitung des Experiments gegeben und der ergänzende Hinweis, dass sie nach dessen Durchführung im Plenum über ihr Experiment und die daraus entwickelten Einsichten berichten“ (Meyer & Tiedemann, 2017, S.85). Nachdem der Übertrag erfolgreich angewandt wurde, erklärt und benennt die Lehrkraft [im folgenden LK] die neue Vokabel. Dies ist die zweite Phase nach Gibbons „Introducing key vocabulary“.

Die Erarbeitungsphase knüpft an den Einstieg an. Sie kombiniert die Lösung einer schriftlichen Additionsaufgabe mit der Vorbereitung auf die Präsentation der Lösung anhand des Erklärvideos, welche durch die Hinführungsphase sprachlich begründet wurde und so eine Transparenz der Anforderungen durch die LK gegeben wurde (Michalak, 2015, S. 137). Es sei praktisch verschiedene Aufgaben in die Erarbeitungsphase zu geben, um so Fragen wie “Wer hat ein ähnliches Muster in seiner Gruppe beobachten können?” zu stellen. Das Erklärvideo wurde ausgesucht, weil es für SuS in der dritten Klasse verständlich ist. Vor allem der Wortschatz des Videos ist an den Wortschatz der SuS angepasst, so dass es sprachlich nicht zu Problemen führen kann. Außerdem entspricht das Video den Kriterien eines guten Erklärvideos. Es beinhaltet keine akustischen oder visuellen Ablenkungen, welche die SuS beim Lernen stören könnten. Das Video ist außerdem dual kodiert, das heißt es wird das auf dem Bildschirm gezeigt, was parallel von der Erzählstimme gesprochen wird (Dorgerloh & Wolf, 2020, S. 63). Die Reduzierung auf das Wesentliche ist mit weniger als drei Minuten sowohl zeitlich als auch inhaltlich an einem ausführlichen Beispiel gelungen (Krauthausen, 2012). Der Grund für den Einsatz des Videos ist die damit gegebene Unterstützungstechnik, zum Erreichen der sprachlichen Fertigkeiten (Woerfel & Giesau, 2018). Die SuS sollen auf ihrem Plakat (siehe Punkt 6) den Übertrag farblich herausstellen, so dass es anschließend einfacher fällt über diesen zu sprechen. Dabei wird die Kompetenz des mathematischen Problemlösen gefördert, indem die Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung überprüft werden (Kultusministerium, 2017, S. 25). Außerdem wird durch die Aufgabenstellung die Förderung der Kernkompetenz gefördert. Die SuS rechnen schriftlich und flexibel (ebd. S.30), indem sie die Schritte aus dem digitalen Medium analog auf das Plakat und die neue Aufgabe übertragen. Zudem wird ein genauer Fokus auf den Übertrag gelenkt, über welchen in der folgenden Phase gesprochen werden soll.

In der Sicherungsphase werden die Ergebnisse präsentiert und besprochen. Bei der Vorstellung der Aufgabe wird auf die Umsetzung der Arbeit mit dem Übertrag geachtet. Dabei wird ebenfalls darauf geachtet, dass dieser versprachlicht wird. Falls der Begriff Übertrag nicht von sich aus in der Präsentation fällt, kann die LK Nachfragen stellen, wie “Wo ist denn in deiner Rechnung der Übertrag?” “Wie hast du den Übertrag denn berechnet?”. Dadurch erhält die LK einen Einblick, wie gut und sicher der neue Begriff Übertrag durchdrungen wurde. Es wird nicht erwartet, dass die SuS den Begriff Übertrag durchdrungen haben, jedoch ist es ein erster Schritt von der Alltagssprache zur fachlichen Kommunikation (Michalak, 2015, S. 139; Plüskow-Kaminski, 2019). Die Phase ist die dritte Phase nach Gibbons „Teacher-guided reporting“. Nach Josef Leisen fällt diese Art der Präsentation unter das Handlungsberichtende Sprechen, da die SuS ihren Beobachtungen unter Nutzung von gelernten Fachbegriffen präsentieren (Leisen, 2018, S. 11). Hierbei wird mathematisch Kommuniziert, indem die SuS die Lösungswege und Vorgehensweisen der anderen Gruppen nachvollziehen und darüber diskutieren (Kultusministerium, 2017, S. 22). Außerdem wird das geschickte rechnen überprüft, indem die verschiedenen Rechenwege verglichen werden (ebd. S. 30).

In der Folge sollen die SuS ein Lerntagebuch ausfüllen, was die vierte Phase „Journal writing“ nach Gibbons ist. Die SuS sollen anhand der Leitfrage “Was hast du gelernt?” ihre Arbeit der Stunde selbstständig aufschreiben. Dabei sei es auffällig, so Gibbons, dass die SuS nach sprachsensiblen Fachstunden die thematisierten sprachlichen Mittel in ihr Schreiben einbinden.

Die SuS sollen in der Unterrichtsstunde lernen, wie man Zahlen schriftlich Addiert. Dabei wird die vorangegangene Stunde durch die Einführung des Begriffs Übertrag ergänzt. Durch diesen wird der Zehnerübergang für die SuS einfacher gemacht, welcher bei der Addition mehrerer Zahlen nahezu unabdingbar ist. Nach der Unterrichtseinheit sollen alle SuS in der Lage sein, auch mehrere Zahlen durch Anwendung der schriftlichen Methode zu addieren. So können im Alltag beispielsweise Kassenzettel überprüft oder mehrere Preise zusammengerechnet werden. Außerdem sollen die SuS den Begriff Übertrag fachlich verstehen, um ihn dann sprachlich korrekt zu benutzen. Dazu werden erste Versuche gestartet den Begriff innerhalb einer Präsentation zu nutzen. Dabei wird Rücksicht auf die sprachlichen Voraussetzungen der SuS genommen (Wildemann & Fornol, 2020, S. 81).

4. Methodische Überlegungen

Methodisch wurde in der Hinführungsphase ein Kinositz vor der Tafel gewählt, da der Fokus so stärker auf den Aufgaben an der Tafel liegt. Außerdem können so SuS selbst an der Tafel interagieren, oder Probleme direkt an der Tafel zeigen. Ein Kinositz ist eine Methode, in der die Lernenden in einem Halbkreis vor der Tafel sitzen, so dass die Inhalte der vortragenden Person durch die Nähe zu den Adressaten besser vermittelt werden können (Methodenkartei Uni Oldenburg). Alternativ wäre ein vorbereitetes Arbeitsblatt an der Dokumentenkamera denkbar, welches die LK zusammen mit den SuS bearbeitet. Eine Dokumentenkamera projiziert ein Dokument oder einen Gegensand mithilfe eines Beamers an die Wand. Der Vorteil ist, dass keine vorbereitete Präsentation hochgeladen oder eine Folie beschriftet werden muss, sondern, dass jedes Arbeitsblatt schnell und einfach für alle Personen dargestellt werden kann. Ich habe mich dagegen entschieden, da ich denke, dass sich mehr unterschiedliche SuS bei der Arbeit im Kinositz beteiligen. Außerdem ist die Steuerung bei kritischen Stellen durch die LK einfacher.

In der Erarbeitungsphase wird eine Gruppenarbeit durchgeführt. Diese hilft neben der Stärkung der sozialen Kompetenzen auch bei Problemen mit digitalen Medien. Durch die Gruppe wird eine weitere Station der Ansprechpartner gebildet, an die sich die SuS wenden können bevor sie die LK fragen. So wird die LK entlastet und die SuS können in gewisser Weise voneinander lernen.

In der Sicherungsphase bzw. Reflexionsphase präsentieren die Gruppen im Plenum ihre Ergebnisse. Dabei werden die Plakate unter die Dokumentenkamera gelegt, welches den Vorteil hat, dass andere Gruppen die Lösung der vorstellenden Gruppe besser sehen können als die Präsentation des Plakats mit Klebeband an der Tafel.

5. Überlegungen zum Einsatz des digitalen Mediums

Zuerst wird das Erklärvideo anhand der Kriterien für gute Erklärvideos analysiert (Simschek & Kia, 2017, S. 73).

Das erste Kriterium ist die Adaption von Vorwissen. Dieses wird insofern erfüllt, als dass die SuS bereits mit der schriftlichen Addition ohne Übertrag vertraut sind. Des Weiteren wurde in der Hinführungsphase bereits in Zusammenarbeit mit Lehrer und Video das Videobeispiel gelöst und besprochen. Das zweite Kriterium ist das Nutzen von Veranschaulichungswerkzeugen. Dieses meint unter anderem das Benutzen von Beispielen, die Sprachebene oder den Mathematisierungsgrad. Das Video behandelt im Ganzen die Beispielaufgabe 638+265. Es ist sprachlich und inhaltlich auf die SuS angepasst. Nach Leisen findet im Video eine Vermittlung von mathematischer Sprache statt. Die Zahlen werden in der ikonischen Darstellungsform präsentiert und mit Fachbegriffen beschrieben (Leisen, 2018, S. 15). Im dritten Kriterium soll die Relevanz verdeutlicht werden. Im Video wird anfangs gesagt, dass das Video eine Technik zeigt, mit der die SuS ganz einfach Zahlen zusammenrechnen können. Das Ganze passiert in einer direkten Ansprache. Das vierte Kriterium befasst sich mit der Struktur. Das Video verläuft nach dem Beispiel-Regel-Modell. Es wird anhand eines Beispiels ein Ablauf simuliert, der für die SuS sowohl greifbar als auch auf andere Folgeaufgaben übertragbar ist. Die wesentlichen Aspekte für den erfolgreichen Einsatz des Algorithmus werden am rechten Rand des Videos notiert, so dass die SuS diese immer auf dem Bildschirm sehen. Das fünfte Kriterium richtet sich auf die Fokussierung des Inhaltes. Da das Video eine Länge von drei Minuten hat, wird sich in dieser Zeit auch nur auf die Kernidee bezogen. Die Erzählstimme schweift nicht ab und jede Aussage hat seine Berechtigung. Das vorletzte Kriterium sagt, dass das Erklärvideo sich auf ein neues Prinzip bezieht, was es mit dem neuen Übertragsproblem tut. Im letzten Kriterium geht es um die Einbettung in den Unterrichtsgang. Innerhalb des Videos wird zwar keine explizite neue Lernaufgabe gestellt, jedoch wird das Video durch die LK dafür benutzt, weitere Aufgaben mit demselben Prinzip zu lösen. Alles in allem entspricht das Erklärvideo den Kriterien für ein gutes Erklärvideo und kann so meiner Meinung nach im Unterricht benutzt werden.

Die Nutzung eines Erklärvideos umfasst eine auditive und eine visuelle Wahrnehmung des Lernstoffes durch die SuS. Um die SuS langfristig an gelernte Inhalte zu binden und diese im Langzeitgedächtnis zu sichern, ist es wichtig die Informationen im Arbeitsgedächtnis intensiv zu verarbeiten. Durch den auditiven und visuellen Input des Videos werden gleichzeitig zwei Sinneskanäle des Arbeitsgedächtnisses beansprucht, was nach Paivio eine bessere Verankerung im Gedächtnis bedingt (Kerres, 2013, S. 164). Werden die Informationen im Arbeitsgedächtnis verarbeitet, so kann es sein, dass sie ins Langzeitgedächtnis übertragen werden. Findet zum Beispiel eine Elaboration statt, also die Verknüpfung von altem Wissen mit Neuem, so werden die gelernten Informationen einem bereits bekannten Schema zugeordnet und im Langzeitgedächtnis abrufbar gemacht (Kerres, 2013, S. 155). Auch die Automatisierung von Schemata spielt eine wichtige Rolle. Dabei werden Verfahren routiniert angewendet und das Arbeitsgedächtnis wird dadurch weniger beansprucht. Im Bezug auf die Unterrichtsstunde wird vorausgesetzt, dass die SuS den Umgang des Verfahrens der schriftlichen Addition ohne Übertrag verinnerlicht haben und dass sich deshalb auf das Phänomen Übertrag konzentriert werden kann. Durch die Konzentration auf einen abgrenzenden Lernaspekt erhöht sich die Wahrscheinlichkeit der Aufnahme des neuen Verfahrens ins Langzeitgedächtnis (Kerres, 2013, S. 155). Es ist jedoch nicht richtig davon auszugehen, dass jede Klasse nach ein bis zwei Stunden das Verfahren der schriftlichen Addition ohne Übertrag in eine Routine umgewandelt hat. Die LK steht vor der Herausforderung einschätzen zu können, ob die Klasse den Lernstoff verinnerlicht hat, oder ob es noch zu früh für ein neues Thema ist. Außerdem bietet das Lernvideo den Vorteil, dass die SuS das Video auch zuhause beim Erledigen von Hausaufgaben oder beim Vorbereiten auf eine Klassenarbeit schauen können (Simschek & Kia, 2017, S. 19). Dabei kann es ebenso hilfreich sein, sich das Video mit einem Elternteil anzuschauen, welches das Kind beim Lernen unterstützen kann.

Das Erklärvideo wird unterstützend zur Gruppenarbeit eingesetzt. Dabei können Lernziele erreicht werden, die in Einzelarbeit oder im Frontalunterricht keinen Sinn ergeben hätten. Die Gruppenmitglieder können zum Beispiel als Wissensressourcen gesehen werden, die eigene Ideen oder Anmerkungen beitragen können (Kerres, 2013, S. 177). Die SuS sollen nicht direkt vom digitalen Medium lernen, sondern unterstützt werden. Die Fähigkeiten der SuS beschränken sich dabei auf das Öffnen der App, die Bedienung der Videofunktionen wie Vor- und Zurückspulen, sowie die das Bedienen der Pausenfunktion. Durch die Arbeitsform Gruppenarbeit können SuS am selben Tisch bei Problemen helfen. Je nach Vertrauensstand der Klasse mit digitalen Medien ist ein gemeinsames Vorführen der Schritte zum Öffnen des Videos ratsam. Das Video wurde so ausgewählt, dass die SuS durch die Verinnerlichung der im Video vorgegebenen Schritte, den Algorithmus des schriftlichen Addierens auf andere Aufgaben übertragen können (Prinzip des vollständig ausgearbeiteten Lösungsbeispiels).

Wenn die LK während der Gruppenarbeit das Gefühl hat, dass die SuS nicht mit dem digitalen Medium lernen können, dann wird entweder die Gruppenarbeit verkürzt und durch die LK mit einem weiteren Beispiel an der Dokumentenkamera verdeutlicht, oder es werden in der Sicherungsphase die Probleme der SuS behandelt und bestenfalls beseitigt.

6. Verlaufsplan und Arbeitsblatt

7. Literatur-, Abbildungs- und Videoverzeichnis

Dorgerloh, S., & Wolf, K. D. (2020). Lehren und Lernen mit Tutorials und Erklärvideos. Weinheim: Beltz.

Gibbons, P. (2012). Scaffolding language, scaffolding learning. Heinemann, Portsmouth.

Kerres, M. (2013). Mediendidaktik. Konzeption und Entwicklung mediengestützter Lernangebote. Müchen: Oldenbourg Wissenschaftsverlag.

Krauthausen, G. (2012). Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule. Heidelberg: Springer.

Kultusministerium, N. (2017). Kerncurriculum für die Grundschule Klassenstufe 1-4 Mathematik. Hannover, Niedersachsten, Deutschland.

Leisen, J. (2018). Von der Alltagssprache über die Unterrichtssprache zur Bildungssprache. In: Fremdsprache Deutsch Nr. 58.

Meyer, M., & Tiedemann, K. (2017). Sprache im Fach Mathematik. Heidelberg: Springer.

Michalak, M. (2015). Sprache im Fachunterricht. Eine Einführung in Deutsch als Zweitsprache und sprachbewussten Unterricht. Tübingen: Narr Francke Attempto Verlag

Plüskow-Kaminski, A. (2019). Sprachsensibler Unterricht – Was Lehrkräfte beachten sollten. In: Phase6 Magazin. https://www.phase-6.de/magazin/fuer-lehrkraefte/themen/methodik-und-didaktik/sprachsensibler-unterricht-was-lehrkraefte-beachten-sollten/ abgerufen am 28.03.2021

Simschek, R., & Kia, S. (2017). Erklärvideos einfach erfolgreich. Konstanz und München: UVK Verlagsgesellschaft mbH.

Universität Oldenburg: Methodenkartei Kinositz. Von https://www.methodenkartei.uni-oldenburg.de/uni_methode/kinositz/ abgerufen am 25.03.2021

Wildemann, A. & Fornol, S. (2020). Sprachsensibel unterrichten in der Grundschule. Anregungen für den Deutsch-, Mathematik- und Sachunterricht. Hannover: Friedrich Verlag GmbH.

Woerfel, T. & Giesau, M. (2018) Sprachsensibler Unterricht. Köln: Mercator-Institut für Sprachförderung und Deutsch als Zweitsprache. Link: https://www.mercator-institut-sprachfoerderung.de/de/themenportal/thema/sprachsensibler-unterricht/ abgerufen am 28.03.2021

Abb. 1: Stellenwerttafel zu Aufgabe 638+265 (selbst erstellt)

Abb. 2: Nebenrechnung zu Abb. 1 (selbst erstellt)

Abb. 3: mögliches Tafelbild nach J. Roth. Link: https://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundschulmathematik/did_grundschulmathematik_5_schriftliche_rechenverfahren.pdf [Stand 13.01.2021]

Erklärvideo zum schriftlichen Addieren: Link: https://www.youtube.com/watch?v=whreoiXr_UU&ab_channel=CornelsenVerlag [Stand 13.01.2021]